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两个向量相乘公式
发布时间：2025-03-16 03:44:36编辑：安艳邦来源：网易
向量相乘的两种常见方式及其应用
在数学和物理学中，向量是描述方向与大小的重要工具。当处理两个向量时，根据具体需求，可以采用不同的“相乘”方式来表达它们之间的关系。最常见的两种向量相乘方式分别是点积（内积）和叉积（外积）。这两种运算不仅形式不同，意义也各有侧重。
点积是一种标量运算，其结果是一个数值而非向量。计算公式为：若两个向量分别为 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，则它们的点积定义为：
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
\]
或者更一般地表示为 \(\|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta\)，其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。点积的应用非常广泛，例如用于判断两向量是否垂直（点积为零）、计算投影长度以及解决几何问题等。
叉积则是另一种向量运算，其结果仍是一个向量。它的定义要求三维空间中的两个非平行向量，结果向量的方向遵循右手定则，并且模长等于这两个向量所构成平行四边形的面积。叉积公式为：
\[
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\]
其中 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表单位基向量。叉积常用于求解平面法向量、计算力矩等问题，在工程学和计算机图形学中也有重要地位。
总之，点积和叉积分别从数值与几何的角度揭示了向量间的关系。理解并掌握这两种运算方法，有助于我们更好地分析和解决问题，同时拓展思维深度，为更高层次的学习奠定基础。
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