【直角坐标系下三角函数的计算】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，尤其在直角坐标系中，它们被广泛应用于几何、物理和工程等领域。直角坐标系下的三角函数计算主要基于单位圆和直角三角形的定义，通过角度的终边与坐标轴的关系来确定正弦、余弦、正切等基本三角函数的值。
本文将对直角坐标系下常见的三角函数进行总结，并以表格形式展示其定义、符号变化及常见角度的数值，帮助读者更清晰地理解这些函数的性质和应用。
一、直角坐标系中三角函数的基本定义
在直角坐标系中，若一个角α的终边与单位圆相交于点P(x, y)，则该角的三角函数可表示为：
| 函数名称 | 定义式 | 表达式 |
| 正弦 | 对边与斜边之比 | sinα = y |
| 余弦 | 邻边与斜边之比 | cosα = x |
| 正切 | 对边与邻边之比 | tanα = y/x |
| 余切 | 邻边与对边之比 | cotα = x/y |
| 正割 | 斜边与邻边之比 | secα = 1/x |
| 余割 | 斜边与对边之比 | cscα = 1/y |
其中，x 和 y 分别是角α终边与单位圆交点的横纵坐标。
二、象限与三角函数的符号变化
根据角α所在的象限不同，三角函数的正负号也会发生变化。以下是各象限中六个三角函数的符号规律：
| 象限 | sinα | cosα | tanα | cotα | secα | cscα |
| 一 | + | + | + | + | + | + |
| 二 | + | - | - | - | - | + |
| 三 | - | - | + | + | - | - |
| 四 | - | + | - | - | + | - |
注意：正切和余切的符号由正弦和余弦共同决定；正割和余割的符号与余弦和正弦相同。
三、常见角度的三角函数值（0°至360°）
以下是一些常用角度的三角函数值，适用于直角坐标系中的计算：
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα | cotα | secα | cscα |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | — | 1 | — |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | — | 0 | — | 1 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 | — | -1 | — |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | — | 0 | — | -1 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 | — | 1 | — |
注：表中“—”表示该函数在此角度下无定义（如tan90°、cot0°等）。
四、总结
在直角坐标系中，三角函数的计算依赖于角的终边与单位圆的交点坐标。通过掌握各象限中三角函数的符号规律以及常见角度的函数值，可以快速准确地进行相关计算。此外，了解三角函数的定义域、值域及其周期性也有助于解决实际问题。
无论是数学学习还是工程应用，直角坐标系下的三角函数都是不可或缺的基础知识。希望本文能够帮助读者更好地理解和运用这些内容。