【线性代数求齐次方程的基础解系】在学习线性代数的过程中，求齐次方程组的基础解系是一个重要的知识点。基础解系是齐次方程组所有解的集合中的一组极大线性无关向量组，它能够表示出齐次方程组的所有解。本文将对如何求解齐次方程组的基础解系进行总结，并通过表格形式展示关键步骤与示例。
一、基础解系的定义
设齐次方程组为：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量。
如果存在一组向量 $ \mathbf{\eta}_1, \mathbf{\eta}_2, \dots, \mathbf{\eta}_r $ 满足以下条件：
1. 它们是齐次方程组的解；
2. 它们线性无关；
3. 齐次方程组的任意解都可以由它们线性表示；
那么这组向量就称为该齐次方程组的一个基础解系，其中 $ r $ 是解空间的维数（即矩阵 $ A $ 的秩为 $ r $ 时，解空间的维数为 $ n - r $）。
二、求解步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将系数矩阵 $ A $ 写成增广矩阵的形式（但因为是齐次方程组，常数项全为 0） |
| 2 | 对矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵 |
| 3 | 确定主变量和自由变量（即非零行的第一个非零元所在的列为主变量，其余列为自由变量） |
| 4 | 将自由变量设为参数（如 $ x_3 = t_1, x_4 = t_2 $ 等） |
| 5 | 用主变量表示自由变量，得到通解表达式 |
| 6 | 分别令每个自由变量为 1，其余为 0，得到一组基础解向量 |
| 7 | 这些向量构成基础解系 |
三、示例分析
考虑如下齐次方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\
2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 0 \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0
\end{cases}
$$
对应的系数矩阵为：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
$$
经过行变换后，得到行最简形矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2 $ 和 $ x_3 $。
令 $ x_2 = s $，$ x_3 = t $，则有：
$$
x_1 = -2s - 3t
$$
通解为：
$$
\mathbf{x} =
\begin{bmatrix}
-2s - 3t \\
s \\
t
\end{bmatrix}
= s
\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
\end{bmatrix}
+ t
\begin{bmatrix}
-3 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{
\begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-3 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\right\}
$$
四、总结
求齐次方程组的基础解系是线性代数中的基本技能之一，其核心在于理解矩阵的秩、主变量与自由变量的关系，并通过参数化方法构造通解。掌握这一过程有助于更深入地理解线性方程组的解空间结构。
| 关键点 | 说明 |
| 基础解系 | 齐次方程组所有解的极大线性无关组 |
| 行变换 | 将矩阵化为行最简形，便于确定主变量和自由变量 |
| 参数化 | 用自由变量表示主变量，得到通解 |
| 构造解系 | 通过令自由变量取不同值，得到一组线性无关的解向量 |
通过以上方法和步骤，可以系统地解决齐次方程组的基础解系问题，提高解题效率与准确性。